Faydalı Bilgiler

İki değer arasında enterpolasyon formülü

Pin
Send
Share
Send
Send


Tablo verilerini enterpolasyon için formül

Koşulda NHR (Q, t) miktarı olduğunda 2. eylemde kullanılır arasında orta 100 t ve 300 t

(istisna: Q şartına göre 100 veya 300'e eşitse - o zaman enterpolasyon gerekmez).

yo - Başlangıçtaki NHR miktarınızı durumdan, ton cinsinden

(Q harfine karşılık gelir)

y1alt NHR miktarınıza en yakın ton cinsinden

(Tablo 11-16’dan, genellikle 100'e eşit).

y2daha NHR miktarınıza en yakın ton cinsinden

(Tablo 11-16’dan, genellikle 300).

x1 - kirli hava bulutunun yayılma derinliğinin tablo değeri (Gt) sırasıyla y1 (x1 konumuyla tersi y1), km.

x2 - kirli hava bulutunun yayılma derinliğinin tablo değeri (Gt) sırasıyla y2 (x2 konumuyla tersi y2), km.

NHR - klor, Q = 120 t,

SVSP (düşey hava direnci derecesi) yazın - ters çevirme.

Bulmak için Dt - kirli hava bulutunun yayılma derinliğinin tablo değeri.

11-16 Tabloları inceliyoruz ve durumunuza karşılık gelen verileri buluyoruz (klor, inversiyon).

Uygun masa 11.

Seçili değerleri formülde yerine koy ve bul x0.

interpolasyon

interpolasyon, interpolasyon (itibaren Lat. polis arası — «düzeltilmiş, yenilenmiş, güncellenmiş, dönüştürülmüş») - hesaplama matematiğinde, bir miktarın ara değerlerini, bilinen bir kesikli mevcut değerler kümesinden bulmak için bir yöntem. “İnterpolasyon” terimi ilk olarak John Wallis tarafından “Sonsuzun Aritmetiği” adlı makalesinde kullanılmıştır (1656).

Fonksiyonel analizde, lineer operatörlerin enterpolasyonu, Banach uzaylarını belirli bir kategorinin elemanları olarak gören bir bölümdür.

Bilimsel ve mühendislik hesaplamaları ile karşı karşıya kalanların çoğu, ampirik olarak veya rastgele örneklemeyle elde edilen değerler kümesiyle çalışmak zorundadır. Kural olarak, bu kümeler temelinde, elde edilen diğer değerlerin yüksek doğrulukta düşebileceği bir işlev inşa etmek gerekir. Bu soruna yaklaşım denir. İnterpolasyon, inşa edilen fonksiyonun eğrisinin mevcut veri noktalarından tam olarak geçtiği bir tür yaklaşımdır.

Ayrıca, karmaşık bir işlevin başka bir basit işleve yaklaştırılmasını içeren interpolasyona yakın bir problem vardır. Bazı işlevler verimli hesaplamalar için çok karmaşıksa, değerini birkaç noktadan hesaplamayı deneyebilir ve bunları daha basit bir işlev oluşturmak için enterpolasyon yapmak için kullanabilirsiniz. Elbette, basitleştirilmiş bir fonksiyonun kullanılması, orijinal fonksiyonun vereceği ile aynı kesin sonuçların alınmasına izin vermez. Ancak, bazı problem sınıflarında, basitlik ve hesaplamaların hızında elde edilen kazanım, sonuçlarda ortaya çıkan hatadan daha ağır basabilir.

Ayrıca, “operatör enterpolasyonu” olarak bilinen tamamen farklı bir tür matematiksel enterpolasyondan söz edilmelidir. Operatör enterpolasyonu üzerindeki klasik eserler, Riesz-Thorin teoremini ve diğer birçok çalışmanın temeli olan Marcinkiewicz teoremini içerir.

tanımlamak

Eşleşmeyen noktalar sistemi olarak düşünün x i < displaystyle x_> (i ∈ 0, 1, ..., N < displaystyle i in <0,1, dots, N >>) bazı etki alanlarından D < displaystyle D>. F < displaystyle f> işlevinin değerlerinin yalnızca şu noktalarda bilinmesini sağlayın:

y i = f (x i), i = 1, ..., N < displaystyle y_= f (x_), quad i = 1, noktalar, N.>

İnterpolasyon görevi, belirli bir işlev sınıfından F < displaystyle F> işlevini bulmaktır.

F (x i) = y, i = 1, ..., N. < displaystyle F (x_) = y_, quad i = 1, noktalar, N.>

  • Puan x i < displaystyle x_> çağrı enterpolasyon düğümlerive bunların birleşimi enterpolasyon ızgarası.
  • Çiftler (x i, y i) < displaystyle (x_, y_)> çağrı veri noktaları veya baz puan.
  • "Komşu" değerleri arasındaki fark Δ x i = x i - x i - 1 < displaystyle Delta x_= x_-x_> — perde enterpolasyon ızgarası. Değişken veya sabit olabilir.
  • F (x) işlevi < ekran stili F (x)> - enterpolasyon işlevi veya interpolant.

1. x < displaystyle x> 'in birkaç değeri için f < displaystyle f>' nin karşılık gelen değerlerini belirleyen aşağıda açıklanana benzer bir tablo fonksiyonuna sahip olduğumuzu varsayalım:

x < displaystyle x> f (x) < displaystyle f (x)>

0
10,8415
20,9093
30,1411
4−0,7568
5−0,9589
6−0,2794

Enterpolasyon, böyle bir fonksiyonun belirtilen değerlerden farklı bir noktada hangi değere sahip olduğunu bulmamıza yardımcı olur (örneğin, x = 2,5).

Bugüne kadar birçok farklı enterpolasyon yöntemi vardır. En uygun algoritmanın seçimi, soruların cevaplarına bağlıdır: seçilen yöntem ne kadar doğrudur, kullanımının maliyeti nedir, enterpolasyon işlevi ne kadar düzgündür, kaç veri noktası gerektirir, vb.

2. Ara değeri bulun (doğrusal enterpolasyon ile).

600015.5
6378?
800019.2

Geri enterpolasyon

grafikleri dizinin noktalarından (xi, yi) geçen C2 [a, b] uzayından gelen işlevler sınıfında, i = 0, 1,. . . , m.

Karar. Kontrol noktalarından (xi, f (xi)) geçen ve belirtilen boşluğa ait tüm fonksiyonlar arasında, S00 (a) = S00 (b) = 0 sınır koşullarını sağlayan kübik eğri çizgi (S) (0). işlevsel I (f).

Genellikle, uygulamada, bir argüman değerinin bir fonksiyonunun belirli bir değerinin aranması problemi ortaya çıkar. Bu problem ters enterpolasyon yöntemleriyle çözülür. Eğer verilen fonksiyon monoton ise, ters enterpolasyon, fonksiyonun bir argüman ile değiştirilmesi ve bunun tersi ve müteakip enterpolasyonun yapılmasıyla en kolay şekilde gerçekleştirilir. Belirtilen işlev monoton değilse, bu teknik kullanılamaz. Ardından, fonksiyonun ve argümanın rollerini değiştirmeden, argümanın bilinen değerlerini kullanarak bir veya başka bir enterpolasyon formülü yazarız ve bilinen fonksiyonu dikkate alarak, ortaya çıkan denklemi argümana göre çözeriz.

İlk numarayı kullanırken kalan terimin tahmini, doğrudan enterpolasyonla aynı olacaktır, sadece doğrudan fonksiyonun türevlerinin, ters fonksiyonun türevleriyle değiştirilmesi gerekir. İkinci yöntemin hatasını tahmin ediyoruz. F (x) ve Ln (x) işlevi verilirse, bu işlev için oluşturulan Lagrange interpolasyon polinomu, x0, x1, x2, düğümlerinden elde edilir. . . , xn, o zaman

f (x) - Ln (x) = (n + 1)! (x− x0). . . (x− xn).

F (¯x) = y¯ (y¯ verildiği) için x value değerini bulmamız gerektiğini varsayalım. Ln denklemini çözeceğiz (x) = y¯. Biraz x¯ alıyoruz. Önceki denklemde yer değiştirerek, şunu elde ederiz:

Mn + 1

f (x¯) - Ln (x¯) = f (x¯) - y¯ = f (x¯) - f (¯x) =

Langrange formülünü kullanarak,

burada η, x¯ ve x¯ arasındadır. [A, b], x¯ ve x¯ ve min içeren bir aralık ise

Son ifadeden itibaren:

| x¯ - x¯ | 6m1 (n + 1)! | $ n (x¯) | .

Ayrıca, elbette, Ln (x) = y¯ denklemini tam olarak çözdüğümüz varsayılmaktadır.

Tablo oluşturmak için enterpolasyon kullanma

İnterpolasyon teorisi, fonksiyon tablolarının derlenmesinde uygulamaya sahiptir. Böyle bir problemi çözen matematikçi, hesaplamalara başlamadan önce bir takım soruları çözmelidir. Hesaplamaların gerçekleştirileceği formül seçilmelidir. Bu formül siteden siteye değişebilir. Tipik olarak, fonksiyon değerlerini hesaplamak için kullanılan formüller zordur ve bu nedenle bazı referans değerleri elde etmek için kullanılır ve daha sonra, alt tablolama işlemiyle tablo yoğunlaştırılır. Fonksiyonun referans değerlerini sağlayan formül, aşağıdaki alt tabloyu dikkate alarak, tabloların istenen hassasiyetini sağlamalıdır. Sabit bir adımla tablolar oluşturmanız gerekirse, önce adımını belirlemelisiniz.

Çoğu zaman, işlev tabloları, doğrusal enterpolasyonun mümkün olacağı şekilde derlenir (yani Taylor formülünün ilk iki terimini kullanarak enterpolasyon). Bu durumda, kalan terim formu olacak

R1 (x) = f00 (ξ) h2t (t - 1).

Burada ξ, x'in bulunduğu argümanın iki bitişik tablo değeri arasındaki aralığa aittir ve t, 0 ile 1 arasındadır. T (t - 1) ürünü en büyük modüloyu alır.

t = 12'deki değer. Bu değer 14'e eşittir. Böylece,

8, buradaki M2 = maks. | F00 (ξ) | .

İnterpolasyon hatasının mutlak bir değeri geçmemesi için, h'yi seçmek gerekir.

hangi h 6 koşulunu yerine getirir

Bu hatanın yanında - yöntemin hatası, ara değerlerin pratik hesaplanmasında hala kurtarılamayan bir hata ve bir yuvarlama hatası olacağı unutulmamalıdır. Daha önce gördüğümüz gibi, doğrusal enterpolasyon sırasındaki ölümcül hata, fonksiyonun tablo değerlerinin hatasına eşit olacaktır. Yuvarlama hatası, hesaplama araçlarına ve hesaplama programına bağlı olacaktır.

1.4. Lagrange enterpolasyon formülü

İnterpolasyon oluşturmak için Lagrange tarafından önerilen algoritma

Tablolara (1) göre fonksiyonlar, formda bir interpolasyon polinomu Ln (x) yapımını sağlar

Ln (x) = 10 (x) + l1 (x) +. + ln (x)

buradaki li (x), hangi koşullar için n derece dereceli bir polinomdur?

Açıkçası, (10) için şartların (11) yerine getirilmesi, interpolasyon problemi ifadesinin şartlarının (2) yerine getirildiğini belirlemektedir.

Polinom li (x) aşağıdaki gibi yazılmıştır

Burada qj, değeri (12) dikkate alınarak belirlenen bir sabittir.

- x0). (xi - xi - 1) (xi - xi + 1). (xi - xn)

Formül (14) 'ün paydasındaki tek bir faktörün sıfıra eşit olmadığını unutmayın. C sabitlerinin değerlerini hesapladıktan sonra, verilen noktalarda enterpolasyonlu fonksiyonun değerlerini hesaplamak için bunları kullanabilirsiniz.

Lagrange interpolasyon polinomunun (11) formülleri (13) ve (14) dikkate alınarak formülü formda yazılabilir.

qi (x - x0) (x - x1) • K • (x - xi −1) (x - xi +1) • K • (x - xn)

1.4.1 Lagrange formülü ile manuel hesaplamaların organizasyonu

Lagrange formülünün doğrudan uygulanması, çok sayıda benzer hesaplama yapılmasına yol açar. Küçük tablolar için bu hesaplamalar manuel olarak veya bir program ortamında yapılabilir.

Microsoft Excel veya OpenOffice.org Calc.

İlk aşamada, elle yapılan hesaplamaların algoritmasını ele alacağız. Gelecekte, bu aynı hesaplamalar ortamda tekrarlanmalıdır

Microsoft Excel veya OpenOffice.org Calc.

Şek. Şekil 6, dört düğüm tarafından tanımlanan enterpolasyonlu bir fonksiyonun başlangıç ​​tablosunun bir örneğini göstermektedir.

Şekil 6 İnterpolasyonlu fonksiyonun dört düğümü için kaynak verilerini içeren bir tablo

Tablonun üçüncü sütununa, formül (14) ile hesaplanan qi katsayılarının değerlerini yazıyoruz. Aşağıdaki n = 3 için bu formüllerin bir kaydıdır.

Manuel hesaplamaların uygulanmasındaki bir sonraki adım, formül (13) 'e göre gerçekleştirilen, li (x) (j = 0,1,2,3) değerlerinin hesaplanmasıdır.

Tablonun varyantı için bu formülleri, düşündüğümüz dört düğüm ile yazıyoruz:

Polinom li (xj) (j = 0,1,2,3) değerlerini hesaplıyor ve bunları tablo hücrelerine yazıyoruz. Formül (11) 'e göre Ycalc (x) fonksiyonunun değerleri, satırlardaki li (xj) değerleri toplanarak elde edilecektir.

Hesaplanan değerlerin li (xj) sütunlarını ve Ycalc (x) değer sütununu içeren tablonun formatı, Şekil 8'de gösterilmiştir.

Şek. 8. Xi argümanının tüm değerleri için formül (16), (17) ve (11) tarafından yapılan manuel hesaplama sonuçlarını içeren bir tablo

Şekil 2'de gösterilen tablonun oluşumunu tamamladıktan sonra Şekil 8'de, (17) ve (11) formüllerini kullanarak, X argümanının herhangi bir değeri için enterpolasyonlu fonksiyonun değerini hesaplayabilirsiniz. Örneğin, X = 1 için, li (1) (i = 0,1,2,3) değerlerini hesaplarız:

0 (1) = 0,7763, l1 (1) = 3,5889, l2 (1) = -1,5155, l3 (1) = 0,2966.

Li (1) değerlerini toplayarak, Yinterp (1) = 3.1463 değerini elde ediyoruz.

1.4.2. Lagrange formülü enterpolasyon algoritmasının Microsoft Excel'de uygulanması

İnterpolasyon algoritmasının uygulanması, manuel hesaplamalarda olduğu gibi, qi katsayılarını hesaplamak için formüller yazarak başlar. Şekil 9, argümanın verilen değerleri, enterpolasyonlu fonksiyon ve katsayıları qi olan tablonun sütunlarını göstermektedir. Bu tablonun sağında, qi katsayılarının değerlerini hesaplamak için C sütununun hücrelerine yazılan formüller vardır.

Şek. 9 Katsayılar tablosu qi ve hesaplama formülleri

Q0 formülünü C2 hücresine girdikten sonra, hücreler C3'ten C5'e kadar uzanır. Bundan sonra, bu hücrelerde bulunan formüller (16) 'ya göre Şekil l'de gösterilen forma göre ayarlanır. 9.

Hesaplanan (xi),

Formül (17) uygulayarak, li (x) (i = 0,1,2,3) değerlerini hesaplamak için formülleri D, E, F ve G sütun hücrelerine yazarız. D2 hücresinde l0 (x0) değerini hesaplamak için aşağıdaki formülü yazarız:

Burada $ C $ 2, q0 değerine sahip bir hücreye mutlak bir referanstır, $ A2, x0 değerinin yazıldığı hücreye bir referanstır. Bu formülü bir kolonda germek,

l0 (xi) değerlerini elde ediyoruz (i ​​= 0,1,2,3).

$ A2 bağlantı formatı, li (x0) 'ı hesaplamak için hesaplama formülleri oluşturmak için formülü E, F, G sütunları boyunca uzatmanıza izin verir (i = 1,2,3). Bir formülü bir çizgi boyunca sürüklediğinizde, bağımsız değişkenlerin sütun dizini değişmez. L0 (x0) formülünü çizdikten sonra li (x0) 'ı (i = 1,2,3) hesaplamak için, düzeltmelerin formüllere (17) göre yapılması gerekir.

H sütununa, formüllere göre li (x) 'i toplamak için Excel formüllerini yerleştiririz.

Şek. Şekil 10, Microsoft Excel ortamında uygulanan bir tabloyu göstermektedir. Formül tablosundaki hücrelere kaydedilen formüllerin doğruluğunun ve yapılan hesaplama işlemlerinin işareti, Şekil 11'de gösterilen sonuçları tekrarlayarak elde edilen köşegen matris li (xj) (i = 0,1,2,3), (j = 0,1,2,3) 'dür. Şekil 8 ve orijinal tablonun düğümlerindeki enterpolasyonlu fonksiyonun değerleriyle çakışan bir değerler sütunu.

Şek. 10. li (xj) (j = 0,1,2,3) ve Ycalc (xj) değerlerinin tablosu

Bazı orta noktalardaki değerleri hesaplamak için yeterlidir

A6 hücresinden başlayarak A sütununun hücreleri, enterpolasyonlu işlevin değerlerini belirlemek istediğiniz X argümanının değerlerini girer. ayırmak

Hücre tablosunun son (5.) sırasındaki l0 (xn) ila Ycalc (xn) arasındadır ve seçilen hücrelerde yazılan formülleri sonuncuyu içeren sıraya gerdirin.

x argümanının verilen değeri.

Şek. Şekil 11, fonksiyon değerlerinin üç noktada hesaplandığı tabloyu göstermektedir: x = 1, x = 2 ve x = 3. Kaynak veri tablosunun satır numaralarını içeren ek bir sütun tabloya eklenmiştir.

Şek. 11. İnterpolasyonlu fonksiyonların değerlerinin Lagrange formülleriyle hesaplanması

İnterpolasyon sonuçlarının görüntülenmesini daha net hale getirmek için, artan sırada X-siparişi değerleri sütunu, Y (X) fonksiyonunun başlangıç ​​değerleri sütunu ve bir sütunu içeren bir tablo oluşturacağız.

Bana enterpolasyon formülünü nasıl kullanacağımı ve termodinamik problemlerinin çözümünde (ısı mühendisliği)

Ivan Shestakovich

En basit, ama aynı zamanda yeterince kesin olmayan enterpolasyon doğrusaldır. Zaten iki bilinen noktanız varsa (X1 Y1) ve (X2 Y2) ve X1 ile X2 arasında olan belirli bir X gününün değerlerini bulmanız gerekir. O zaman formül basit.
Y = (Y2-Y1) * (X-X1) / (X2-X1) + Y1
Bu arada, bu formül X değerleriyle de X1 ... X2 aralığının sınırları dışında çalışıyor, ancak buna zaten ekstrapolasyon deniyor ve bu aralıktan önemli bir mesafede çok büyük bir hata veriyor.
Başka birçok arkadaşı var. enterpolasyon yöntemleri - Ders kitabını okumanızı veya internette dolaşmanızı öneriyorum.
Grafik enterpolasyonu yöntemi de mümkündür - grafiği bilinen noktalara elle çizin ve gereken X için grafikten U bulun.)

Bir roman

İki anlamın var. Ve bağımlılık hakkında (doğrusal, ikinci dereceden, ..)
Bu işlevin grafiği iki noktanızdan geçer. Arada bir yerde bir değere ihtiyacın var. Tamam, ifade et!
Örneğin. Tabloda, 22 derecelik bir sıcaklıkta, doymuş buhar basıncı 120,000 Pa ve 26,124,000 Pa'dır. Sonra 23 derece bir sıcaklıkta 121.000 Pa.

Pin
Send
Share
Send
Send