Faydalı Bilgiler

Üstel fonksiyon - özellikler, grafikler, formüller

Pin
Send
Share
Send
Send


Genel durumda anlık kayıt formu herhangi bir değer aşağıdaki gibidir:

Bu kayıt, bu miktarın veya miktarın zamana bağlı olarak nasıl değiştiğini göstermektedir. Bir sinüs yerine, bir kosinüs olabilir, bu daha sonraki eylemlerde hiçbir şeyi değiştirmez.

Trigonometrik fonksiyondan önce, genlik (yani, mümkün olan maksimum değer) değerinin her zaman kaydedildiğini unutmayın. Ayrıca, elektrik mühendisliğinde, çoğu durumda, hesaplamalar amplitüd değerlerden ziyade güncel olarak yapılmaktadır. Genlik gerekirse, bu iş koşullarında belirtilir.

En kolay yol, anında formdan karmaşık bir sayı yazmanın üstel formuna geçiş yapmaktır. Bunu yapmak için, "f" ile çarpılan sayının modülünü, "f" ilk fazının açısının gösterildiği derinlikte yazıyoruz:

Tabii ki, bu genlik değeri olacaktır. Aktüel olanı çevirmek için, genlikten √2 kat daha az olduğunu hatırlatmak yeterlidir, sonra şunu elde ederiz:

Bir örnek düşünün. Devre akımının anlık değeri ayarlanır:

Etkili değerini karmaşık bir biçimde yazmak gerekir. Yukarıda belirtildiği gibi yazıyoruz:

Görebileceğiniz gibi, "t" zaman değişkeninden önceki çarpan 314 dönüşümlere dahil değildir.

Üstel bir üslup yazma biçiminden anlık bir forma dönüştürme işlemi, aynı hesaplamaları ters sırayla kullanarak gerçekleştirilir. Gerçek voltaj değerini ayarladığınızı varsayalım:

İlk olarak, etkin değer modülünü √2 ile çarparak gerilimin genlik değerini belirleriz:

Üstel kayıt biçiminden bilinen ilk fazın hesaplanmış genliği ve açısını kullanarak anlık formu kaydederiz:

Devrenin lic döngüsel frekansını karmaşık bir sayıdan belirlemek imkansızdır, bu nedenle basitçe Yunanca "omega" harfiyle yazılır veya örneğin devrenin belirtilen frekansından ek koşullardan belirlenir.

Dolayısıyla, anlık kayıt miktarları formunu karmaşık sayının üstel formuna çevirmek için basit bir algoritma:

  • Genlik değerini √2'ye bölerek mutlak değer modülünü belirleriz
  • Anlık değer için ilk fazdan faz açısını kullanarak son ifadeyi yazıyoruz.

    Ve son şey - muhtemelen gösterge niteliğindeki kayıt biçimine çevirdiğimizi farkettiniz. Cebirsel çeviri yapmanız gerekiyorsa ne yapmalı? Her şey çok basit - önce onu üstel hale, sonra da ondan, Euler formülüne göre cebirsel olarak tercüme ediyoruz. Bu konuyu zaten detaylı olarak yazdık:

    tanım

    Üstel fonksiyon N sayısının ürününün genellemesi a'ya eşit midir:
    y (n) = a, n = a
    Gerçek sayılar kümesine x:
    y (x) = bir x.
    İşte bir sabit gerçek sayı, denir üstel fonksiyonun temeli.
    A üssünün üstel fonksiyonu da denir. üs üs a .

    Genelleme aşağıdaki gibidir.
    Olumlu bir tamsayı x = 1, 2, 3 ise, üstel fonksiyon x faktörünün çarpımıdır:
    .
    Dahası, sayıların çarpma kurallarını izleyen özellikleri (1.5-8) (aşağıya bakınız ⇓) sahiptir. Tam sayıların sıfır ve negatif değerleri için üstel fonksiyon, formüllerle belirlenir (1.9-10). Kesirli değerlerde x = m / n rasyonel sayılarla ,, formül (1.11) ile belirlenir. Gerçekte, üstel fonksiyon dizinin sınırı olarak tanımlanır:
    ,
    x: 'e yakın rasyonel sayıların rasgele bir sırasıdır.
    Bu tanımla, üstel fonksiyon herkes için tanımlanır ve özellikleri (1.5-8) ve aynı zamanda doğal x'i karşılar.

    Üstel bir fonksiyonun tanımının titiz bir matematiksel formülasyonu ve özelliklerinin bir kanıtı “Üstel bir fonksiyonun özelliklerinin tanımı ve ispatı” sayfasında verilmiştir.

    Üstel fonksiyon özellikleri

    Üstel fonksiyon y = a x, real numbers () setinde şu özelliklere sahiptir:
    (1.1) herkes için tanımlanmış ve sürekli,
    (1.2) Çünkü ≠ 1’in birçok anlamı vardır.
    (1.3) kesinlikle artar, kesinlikle artar,
    sabittir
    (1.4) zaman,
    zaman,
    (1.5) ,
    (1.6) ,
    (1.7) ,
    (1.8) ,
    (1.9) ,
    (1.10) ,
    (1.11) , .

    Diğer faydalı formüller.
    .
    Üstel bir işleve, farklı derecelere göre dönüştürme formülü:

    B = e için üstel fonksiyonun üstel ifadesini elde ederiz:

    Üstel fonksiyon grafikleri

    Şekil üstel fonksiyonun grafiklerini göstermektedir
    y (x) = ax
    dört değer için derece zemin: a = 2, a = 8, a = 1/2 ve a = 1/8. Bir> 1 için üstel fonksiyonun monoton olarak arttığı görülmektedir. A derecesinin tabanı ne kadar büyükse, büyüme o kadar güçlenir. 0'da, üstel fonksiyon monoton bir biçimde azalır. Üst kısım ne kadar küçükse, azalma o kadar büyük olur.

    Artan, azalan

    Üstel fonksiyon, kesinlikle monotoniktir, dolayısıyla hiçbir ekstremaya sahip değildir. Başlıca özellikleri tabloda sunulmaktadır.

    y = a x, a> 1 y = a x, 0 1
    belirleme bölgesi– ∞– ∞
    Değer Aralığı00
    monotonlukmonoton artışmonoton şekilde azalır
    Sıfırlar, y = 0hayırhayır
    Ordinat ekseni ile kesişme noktaları, x = 0y = 1y = 1
    + ∞0
    0+ ∞

    Ters fonksiyon

    Üstel bir fonksiyonun a dereceli bir üs ile tersi, a tabanının logaritmasıdır.

    0, , a ne 1) "style =" width: 203px, yükseklik: 20px, dikey hizalama: -11px, arka plan konumu: -0px -492px, "> sonra
    .
    0, , a> 0, a ne 1) "style =" width: 286px, yükseklik: 20px, dikey hizalama: -11px, arka plan konumu: -386px -469px, "> sonra
    .

    Üstel fonksiyonun farklılaşması

    Üstel bir fonksiyonu ayırt etmek için, temelinin e sayısına indirgenmesi, türev tablosunun uygulanması ve karmaşık bir fonksiyonun farklılaşma kuralının uygulanması gerekir.

    Bunu yapmak için logarithm özelliğini kullanın.
    ve türev tablosundaki formül:
    .

    Üstel bir işlev verilsin:
    .
    Tabana e getiriyoruz:

    Karmaşık bir fonksiyonun farklılaşma kuralını uyguluyoruz. Bunu yapmak için değişkeni girin

    sonra

    Elimizdeki türev tablosundan (x değişkenini z ile değiştiriniz):
    .
    Sabit olduğu için, x'e göre z türevi
    .
    Karmaşık bir fonksiyonun farklılaşması kuralı ile:
    .

    Üstel fonksiyonun farklılaşması örneği

    Türetilmiş İşlevi Bul
    y = 3 5 x

    Üstel fonksiyonun temelini e sayısı ile ifade ediyoruz.
    3 = e3
    sonra
    .
    Değişkeni girin
    .
    sonra

    Türev tablosundan bulduklarımız:
    .
    5ln3 sabit olduğu için, x'e göre z türevi şuna eşittir:
    .
    Karmaşık bir fonksiyonun farklılaşması kuralıyla biz:
    .

    Karmaşık sayılarla ifadeler

    Karmaşık bir sayının işlevini düşünün z:
    f (z) = az
    z = x + iy, i 2 = - 1.
    A modülünü r modülü ve ument argümanı üzerinden ifade ediyoruz:
    a = r e i φ
    sonra


    .
    Φ argümanı benzersiz olarak tanımlanmadı. Genel olarak
    φ = φ 0 + 2,
    burada n bir tamsayıdır. Bu nedenle, f (z) işlevi de benzersiz değildir. Genellikle ana önemini düşünün
    .

    Pin
    Send
    Share
    Send
    Send